Динамика на хармонични трептения – диференциално уравнение

Динамика на хармонични трептения – диференциално уравнение. Примери.
Енергия на хармоничните трептения
Динамика на хармонични трептения – диференциално уравнение
Нека да разгледаме по-подробно причините, поради които може да възникне едно хармонично
трептене. Пак ще използваме като пример механично трептене – материална точка (топче) с маса m,
окачена на пружина с коефициент на твърдост k (фиг. 1). Отправната система (оста X) ще изберем
вертикална, с начало в равновесното положение на топчето. Видяхме, че трептящата точка се движи с
ускорение, следователно трябва да ѝ действа сила. Когато топчето е в равновесие, на него му действат
две сили – сила на тежестта G и сила на еластичност на пружината e
F , която автоматично придобива
големина, равна на G и е насочена в обратна посока (фиг. 1а). За да изведем топчето от положение на
равновесие, трябва за приложим допълнителна сила (да му предадем импулс или енергия). Нека да
отклоним топчето на разстояние x=A (фиг. 1б). Така му предаваме допълнителна енергия (потенциална,
както ще поясним по-нататък). В това положение еластичната сила автоматично се е увеличила със
стойност F=kx=kx, защото x0=0 и посоката ѝ е обратна на отклонението x. Когато освободим топчето,
тази сила F kx , която се явява равнодействаща на силата на тежестта и силата на еластичност в този
момент (e
F F G ), се стреми да го върне към равновесното му положение, затова се нарича
възвръщаща сила. Тази сила променя големината си във всеки момент от време, тъй като зависи от
отклонението x (в дадения случай – от максималната си стойност kA в положенията на максимално
отклонение, до 0 при преминаване на топчето през равновесното положение). За да възникне едно
трептене, в системата винаги трябва да действа някаква възвръщаща сила, насочена към равновесното
положение на системата (в случая това е сила на еластичност), а за да бъде трептенето хармонично,
големината на тази сила трябва зависи линейно от отклонението (F=kx). Следователно ускорението,
което получава тялото, ще бъде:
(1) F kx
a
mm
   .
Ускорението е по посока на силата, затова сме записали втория