Сигнали и системи - сбит материал

Ортогонални Сигнали. Обобщен ред на Фурие. Ортогонални сигнали – 2 сигнала, u v , са ортогонални, ако тяхното скаларно произведение и взаимната им енергия са равни на 0(1.1), т.е. те са независими. 1.1 ( u,v ) = - u(t)v(t)dt =0 изразява приликата м/у първият и вторият сигнал Ортогоналните сигнали се използват при анализ на сложни сигнали или синтез на система от сигнали.При анализа се извършва разлагане на един сложен сигнал на сума от по-прости и независими сигнали, а при синтеза се създава с-ма от сигнали, като с това се осигурява по-голяма достоверност на информацията. ( u,v) = |u||v|.cos Ф = 0 В многомерното пространство на сигналите може да се разгледа система за ортогонални сигнали. В този случай за всяка една(която и да е) двойка сигнали трябва да е изпълнено условието за ортогоналност. {u 1 ,u 2 ,u 3 …u n } -- [t1,t2] - набор на базовите функции (u i , , u j ) = Km, за i=j, 0, za i !=j. Km е число съответстващо на собствената Енергия на сигнала. К m=Eu при i=j =>U i =U j , тогава (Ui,Ui) = - u 2 (t)dt. При Km=1 (U i ,U j )= {1 , при i=j ; 0, при i≠j} (3) ортогонален базис Обобщен ред на Фурие - Разглеждаме {U1,U2,...,Un}, която отговаря на (3) и е ортогонален базис. Един сложен сигнал S(t) се представя като линейна комбинация от прости сигнали. S(t)= i=0 C i.li; li->вектори{U1,U2,...,Un} S(t )= i=1 C i.Ui(t) - обобщен ред на Фурие. При решаване на конкретни задачи, S(t) и U(t) са зададени и се търсят коефициентите С = ? като i=1,2,3,4…n За решението използваме базисната функция Un(t) S(t )= i=1 C i.Ui(t) /*Uk(t) t2 t1 Uk(t)S(t) dt = i=1 C i t2 t1 Ui(t) .U k (t) dt Тъй като сигналите са ортогонални – ще остане само членът с номер i=k ( U:Uk != 0) Ck= t2 t1 Uk(t)S(t) dt / t2 t1 Uk(t) 2 dt Ако системата е ортогонална е изпълнено условие (3) => Ck= t2 t1 Uk(t)S(t) dt Апроксимиране на периодичен сигнал чрез тригонометричен ред на Фурие. Равенство на Парсевал. S(t) = S(t+nT) , n=1,2,... T-период на повторение Т = 1/ f S(t) = A* sin nwt = A* coswt, w=2πf = 2π/T Смисълът е да се представи един периодичен сигнал само ч/з ф-циите sinwt и coswt, който са базови ортогонални функции Uk(t) от Обобщен Ред на Фурие. Условието е ф-цията, която описва сигнала s(t) да отговаря на условието на Дирихле: -S(t) да е непрекъсната или с краен брой точки на прекъсване от I-ти род за разглеждания краен интервал - S(t)dt (има краен брой точки). S(t) = a 0 /2 + n=1 a n .cos nwt + b n sin nwt - Пълна форма на реда на Фурие. а0, аn, bn - коеф. в реда на Фурие. а 0 =2/Т Т/2 -Т/2 S(t)dt - описва постоянната съставка на сигнала. а n =2/ Т Т/2 -Т/2 S(t)cos nwt dt - определя четните съставки от реда на Фурие b n =2/Т Т Т/2 -Т/2 S(t)sin nwt dt - определя нечетните съставки. S(t) = a 0 /2 + n=1 А n .cos(nwt + φ n ) - кратка форма на реда на Фурие Аn=sqrt(a n 2 +b n 2 ) - определя ампл.-честотния спектър на сигнала φ n =аrctg b n /a n - определя фазово-честотния спектър на