Затихващи и принудени трептения

Затихващи и принудени трептения – основни характеристики, уравнения на
движение, диференциални уравнения. Резонанс.
Затихващи трептения
В реалните трептящи системи винаги действат някакви сили на триене и съпротивление на средата.
Това води до постепенно намаляване на механичната енергия на трептящата материална точка, а
следователно и до намаляване на амплитудата на трептенията с течение на времето. В зависимост от
силите на съпротивление, след определено време трептенето се прекратява. Трептения, чиято амплитуда
намалява с течение на времето се наричат затихващи трептения. Тези трептения не са истински
периодични движения, защото трептящото тяло не преминава през равни интервали от време през
еднакви състояния (максималното отклонение всеки път е по-малко от предходния), но уравнението им
на движение е сходно с това на хармоничните трептения и можем условно да ги наричаме периодични,
ако коефициентът на триене (или съпротивление) на средата е постоянен. Видяхме, че уравнението на
движение е решение на диференциалното уравнение на трептенето, т.е. първо ще трябва да получим
диференциалното уравнение на затихващото трептене. Ще го получим отново от втория принцип на
Нютон, като пак разглеждаме пружинно махало. В този случай освен възвръщащата сила F kx , на
тялото действа и сила на съпротивление, която е насочена обратно на посоката на движение и при
малки скорости зависи линейно от скоростта – s
F rv (r е коефициентът на триене (съпротивление) на
средата и предполагаме, че е постоянен). Като използваме принципа на суперпозицията, за ускорението
ще получим: 1
n
i
i
F
kr
a x v
m m m

   


и като отчетем, че скоростта е първа производна, а ускорението – втора производна на координатата x
по времето, ще получим диференциалното уравнение на затихващото трептене:
(1) 2