Алгебра на съжденията

§2. Алгебра на съжденията
1. Формулировка на теорията
Теорията, която ще изградим в този параграф, понякога се нарича теория нулаединица. Това е една интуитивна математическа теория. Едно първично понятие в нея е
просто или елементарно съждение. Съжденията ще означаваме с малките букви от
латинската азбука и ще ги изразяваме чрез изречение. Например изречението
"Триъгълникът ABC е равностранен" изразява съждение, посочващо свойство на
триъгълника ABC . Интуицията ни насочва, че е налице само една от двете
възможности: триъгълникът ABC притежава това свойство и триъгълникът ABC не го
притежава. Това ни подсказва да приемем за първични още понятията вярно и невярно
елементарно съждение, както и твърдението, че всяко елементарно съждение
притежава едно от тези две свойства.
Ако едно съждение p e вярно, казваме, че то има верностна или логическа
стойност, равна на 1 , а в противния случай – равна на 0 и означаваме това съответно с
V  p   1 или V  p   0 . Последното обяснява и наименованието на тази теория.

2. Операции със съждения
От елементарните съждения с помощта на съюзите или, и, на частицата не и др.
могат да се образуват нови съждения. Те са резултат от определени операции. Тук ще
разгледаме основните операции със съждения.
О.1. Ако p и q са две съждения, то изразът "p или q" задава ново съждение,
което се нарича дизюнкция или логическа сума на тези съждения и е невярно само
в случая, когато p и q са едновременно неверни. Означава се с p  q (чете се p"
или q").
Трябва да отбележим, че има разлика при използването на съюза „или” в
разговорния език и в математическата логика. Например, когато казваме, че днес от
1800 часа ще отидем на кино или на театър се подразбира, че ние ще изберем точно едно
от двете посещения. Тук дизюнкцията е използвана в изключващ смисъл. В
математиката тя се използва в неизключващ смисъл, например "8 е четно число или е
кратно на 4".
О. 2. Ако p и q са две съждения, то изразът "p и q" задава ново съждение,
което се нарича конюнкция или логическо произведение на тези съждения и е вярно
само в случая, когато p и q са едновременно верни. Означава се с p  q (чете се
"p и q").
Горните операции могат да се обобщят за повече от две съждения.
О.3. Ако p е съждение, то изразът "не е вярно, че p" или по-краткото "не p"
задава ново съждение, което се нарича логическо отрицание на p и е вярно точно
когато p е невярно. Означава се с p