Аксиоматична теория на естествените числа

§
9
. Аксиоматична теория на естествените числа
Математическите понятия като правило изминават дълъг път на развитие. Първоначално те възникват в процеса на решаване на едни или други праМатематическите понятия като правило изминават дълъг път на развитие. Първоначално те възникват в процеса на решаване на едни или други практически задачи и носят отпечатъка на
с
воя произход. На този етап те обикновено нямат строги определения; вместо това се дават разляти, приблизителни пояснения, посочват се наглeдните представи, отражение и идеализация на които са дадените понятия. В разсъжденията се прави позоваване на нагледността, а понякога и това не се прави, понеже свойствата на математическото понятие неявно се отъждествяват със съответните образи от реалния свят.
Обаче с развитие на теорията такъв подход престава да задоволява, понеже получените резултати стават все по-сложни и далечни от изходните представи и все по-трудно се поддават на опитна проверка. Възниква необходимост от уточняване на понятието, установя
ване на логи
ческата му връзка с другите понятия, изясняване
н
а взаимните отношения на различните му страни. В хода на този процес, наречен изясняване на даденото понятие, някои свойства се приемат за основ
ни, а други,
колкото и да са очевидни, се доказват въз основа на приетите положения. Такова построение на математическата теория се нарича аксиоматично.
За да се избегне каквото и да е влияние на нагледните представи, при аксиоматичното построение на теорията се постъпва по следния начин. Избират се някои неопределими понятия и не говорейки нищо за това, какво те представляват в
същност,
се посочват някои, също неопределими съответствия и отношения между тези понятия. После се формулират няколко твърдения, наречени аксиоми на дадената теория, които описват свойствата на въведените термини, съответствията и отношенията между тях. А след това всички нови понятия трябва да се определят на базата на изходните понятия, съответствия, отношения и всички твърдения трябва да се изведат от аксиомите по пътя на логически разсъждения, които не се опират на нагледността.
Разбира се, при аксиоматичн
о
то построение на теорията изборът на основните понятия, съответствия и аксиоми не е произволен. Понеже математиката създава апарати за опознаване на реалната действителност, те трябва да отразяват обектите на