Задачи от изследване на функции

§4. Задачи от изследване на функции

Съдържание
1.Интервали на монотонност
2. Екстремуми на функция
3. Асимптоти
4. Изследване на функции

ТЕОРИЯ
Нека функцията
()xf е диференцируема в отворения интервал Δ. Тогава
1) Ако
()0≥′xf
()()0≤′xf , за всяко Δ∈x, то функцията ()xf е монотонно растяща
(намаляваща) в
Δ.
2) Ако
()0>′xf ()()0<′xf , за всяко
Δ∈x, то функцията ()xf е строго монотонно
растяща (намаляваща) в
Δ.
Нека функцията
()xf е непрекъсната в някаква
δ-околност () δ+δ−
00
,xx , 0>δ,
на точката
0
x и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата
точка
0
x (диференцируема във всеки от интервалите
( )
00
,xx δ− и () δ+
00
,xx ). Тогава,
ако
()0<′xf за
( )
00
,xxx δ−∈ и ()0>′xf за ( )δ+∈
00
,xxx , то
0
x е точка на строг
локален минимум за
()xf. Аналогично, ако
()0>′xf за ( )
00
,xxx δ−∈ и ()0<′xf за
() δ+∈
00
,xxx , то
0
x е точка на строг локален максимум за ()xf.
Нека
0
x е критична точка за функцията
()xf, ()0
0
=′xf . Нека освен това ()xf
има непрекъсната трета производна в