Задачи от правило на Лопитал

§3. Задачи от правило на Лопитал

Съдържание
1. Основни теореми за диференцируеми функции
2. Разкриване на неопределености
ТЕОРИЯ
Теорема на Ферма. Нека
0
x е точка на локален екстремум за функцията ()xf, определена в някаква
околност на
0
x и нека ()xf е диференцируема в
0
x. Тогава
()0
0
=′xf .
Теорема на Рол. Нека функцията
()xf е непрекъсната в затворения интервал []ba, и диференцируе-
ма в отворения интервал
()ba,, при което
()()bfaf= . Тогава съществува поне една точка ()ba,∈ξ ,
за която
()0=ξ′f .
Теорема на Лагранж. Нека функцията
()xf е непрекъсната в затворения интервал []ba, и диферен-
цируема в отворения интервал
()ba,. Тогава съществува поне една точка ()ba,∈ξ , за която

() ()
()ξ′=
−
−
f
ab
afbf.
Теорема на Коши. Нека функциите
()xf и
()xg са непрекъснати в затворения интервал []ba, и ди-
ференцируеми в отворения интервал
()ba,, при което
()0≠′xg, за всяко ()bax,∈ . Тогава съществува
поне едно
()ba,∈
ξ такова, че

() ()
() ()
()
()ξ′
ξ′
=
−
−
g
f
agbg
afbf
.
Правило на Лопитал. Нека функциите
()xf и ()xg са диференцируеми и ()0≠′xg