Задачи от пресмятане на криволинеен интеграл

1
§3. Задачи от пресмятане на криволинеен интеграл

Съдържание
1. Непосредствено пресмятане на криволинеен интеграл от първи и втори род.
2. Привеждане на криволинеен интеграл по затворен контур към пресмятане на двоен
интеграл по формулата на Гаус.

ТЕОРИЯ
Криволинеен интеграл от първи род. Нека
()trr=γ: , β≤≤αt, е гладка крива с начална
точка
()α=rA и крайна точка ()β=rB (Рис1).

Рис. 1.
Тогава дължината на участъка от кривата от началната точка A до точката ()tMr= се дава
от формулата

() ( )
() () ()∫∫
αα
θθ+θ+θ=θθ==
tt
dzyxdtss
222
&&&&r
Криволинейният интеграл от първи род от функцията ( )zyxf,, върху гладката крива γ се
дефинира чрез формулата
( ) () () ()() ∫∫
=
γ
l
dsszsysxfdszyxf
0
,,,,
Нека гладката крива
γ е зададена с параметрично уравнение ()trr=γ: , β≤≤αt. Тогава като
направим смяна на променливите ()tss=, β≤≤αt, получаваме формулата

( ) () () ()( ) () () ()
∫∫
β
αγ
++= dttztytxtztytxfdszyxf
222
,,,, &&& .
Криволинеен интеграл от втори род. Нека е дадена гладката крива
γ с
параметрично уравнение
()trr=
γ: , β≤≤αt, което в разгърнат вид изглежда по следния
начин

()
()
()
β≤≤α