Задачи от трансформация на Лаплас

1
§13. Задачи от трансформация на Лаплас

Съдържание
1. L - изображение на дадена функция
2. Обратно L - изображение

ТЕОРИЯ
Всяка функция ()tf, определена за R∈t и удовлетворяваща следните условия.
1)
()0=tf за 0<t.
2) Във всеки краен интервал
[]A,0, 0>A, функцията
()tf е непрекъсната или има
краен брой прекъсвания от първи род.
3)
()tf расте не по-бързо от експонента при
∞→t , т.е.

()
t
Metf
0σ
≤ , 0≥t,
за някои константи
0≥M и R
∈σ
0
ще наричаме оригинал. Ако функцията ()tf
е оригинал, то образ
()pF на
()tf се нарича стойността на несобствения
интеграл
() ()∫
∞
−
=
0
dtetfpF
pt
,
разглеждан като функция на комплексната променлива ω+σ=ip . В този случай
пишем ()()pFtf⇔ или () (){}tfpFL = . Преобразуването на оригинала ()tf в
образа ()pF се нарича L – изображение (Лапласово изображение) на този
оригинал, а намирането на оригинала ()tf по даден образ ()pF се нарича обратно
Лапласово изображение. Това записваме така () (){}pFtf
1−
=L .
Основни свойства. Причината поради която преобразованието на Лаплас
работи толкова добре в математическото моделиране е начинът, по който задава
съответствието между оригинали и образи. По-нататък ще се убедим, че това
съответствие при някакви естествени уговорки е взаимно еднозначно. Освен това
съществуват и прости връзки между образът на дадена
функция и образите на
нейните производни и интеграли. В определен смисъл диференциалното и
интегралното смятане за дадени функции