Приложение на матрици и системи линейни уравнения в икономиката

Пловдивски университет ,,Паисий Хилендарски‘‘ Факултет по икономически и социални науки Реферат н а Тема : Приложение на матриците и системи линейни уравнения в икономиката Специалност: Учебна дисциплина: Математика( 1 част) Проверил: ………………… Разработил: Фак .номер: Пловдив Определение за матрица Всяка таблица: от mn на брой реални числа aij , разположени в m реда и n стълба , се нарича матрица от тип m×n или ( m×n ) - матрица . Числата aij , i = 1 ,2 ,..., m , j = 1,2,..., n се наричат елементи на матрицата . Множеството от всички реални матрици от тип m×n се означава с Mm×n(R). Матрица, за която m = n , се нарича квадратна матрица. Множеството от елементите a11,a22, ..., ann се нарича главен диагонал на матрицата. Множеството от елементите a1n,a2,n − 1, ... ,an1 се нарича втори (вторичен) диагонал на матрицата. Множеството от всички квадратни матрици от ред n се означава с Mn (R) . Пример Фирма произвежда два вида продукция П 1 и П 2 , използвайки материали М 1 , М 2 , и М 3 , съответно в количества за единица продукция, показани в таблицата: М 1 М 2 М 3 П 1 3 2 4 П 2 4 1 2 Ако фирмата произвежда дневно 20 ед. от П 1 и 30 ед. от П 2 , определете каква е дневната консумация на материали. Решение : Нека означим с А= 3 2 4 4 1 2 матрицата на единичните разходи, а с В=(20 30) – матрицата на дневното производство на П 1 и П 2 . Тогава дневната консумация на материали се изразява с матрицата С=В.А. произведението е определено, тъй като броят на редовете на А е равен на броя на стълбовете на В, и получаваме, че: C=A.B= 20 30 . 3 2 4 4 1 2 = 60+120 40+30 80+60 =(180 70 140) б) ако единичните цени на материалите са съответно 6, 10 и 1 2 лв., определете разходите за производство на П 1 и П 2 Решение: Нека означим с D= 6 10 12 матрицата на единичните цени на материалите; тогава матрицата М, показваща материалните разходи в лева за единица продукция, се определя с произведението на матриците А и D: M=A.D= 3 2 4 4 1 2 . 6 10 12 = 18+20+48 24+10+24 = 86 58 Общата сума, изразходвана дневно за материали, се определя с матрицата R=BAD R=BAD=CD= 180 70 140 . 6 10 12 =3460 лева Системи линейни уравнения Системи линейни уравнения (СЛУ) са били използвани за решаване на практически проблеми в Китай около 200г. пр. н. е., а дори и още по-рано – около 2000-1600г. пр.н.е. в Древен Вавилон. По-нататък техниките за решаване на СЛУ достигнали Япония и след това и Европа, където те били развити от видния немски математик Карл Гаус. Определение Система линейни уравнения с неизвестни x 1 ,x2 ,..., xn се нарича съвкупността от уравнения където числата aij се наричат коефициенти на системата, а bi - свободни членове на системата. Всяка наредена n -торка ( c1,c2 ,..., cn ),която удовлетворява всяко от уравненията , се нарича решение на системата. Пример При разглеждане на производсвено - икономически задачи достигаме до математически модели, една голяма част от които се