Задачи от пресмятане на двоен и троен интеграл

10
§2. Задачи от пресмятане на двоен и троен интеграл

Съдържание
1.Непосредствено пресмятане на двоен интеграл
2. Привеждане на троен интеграл към последователно пресмятане на определени интеграли.

ТЕОРИЯ
Нека функцията ()yxfz ,= е непрекъсната над криволинейния трапец

() () xyx
bxa
D
21
:
ϕ≤≤ϕ
≤≤ .

Тогава е в сила формулата
() ()
()
()
∫∫∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
ϕ
ϕ
b
a
x
xD
dxdyyxfdxdyyxf
2
1
,,.
Тук интегралът в средните скоби се схваща като "частен" интеграл по променливата
y, а
формулата е частен случай на свеждане на двойния интеграл към повторен.
Тройните интеграли също могат да се свеждат до повторни, когато областта на
интегриране е цилиндрично множество. Нека
3
R⊂V е множеството

()
() ()
yxzyx
Dyx
V
,,
,
:
21
ϕ≤≤ϕ