Задачи от прилоения на теоремата за резидуумите

§12. Задачи от приложения на теоремата за резидуумите

Съдържание
1. Пресмятане на несобствени интеграли на рационални функции
2. Пресмятане на интеграли на тригонометрични функции

ТЕОРИЯ
Tеорема за резидуумите. Ако
()zfе аналитична в област
Γ=∂∪DD с изключение на кра-
ен брой особени точки
n
zzz,...,,
21
, то

() () zfresidzzf
n
k
zz
k
∑∫
=
=
Γ
=
1
2π
Пресмятане на интеграли от вида

[]∫
π2
0
cos,sin dxxxR
става чрез полагането
ix
ez=. Тогава ю

() () []π∈=−=+= 2,0;;1
2
1
sin;1
2
1
cos
22
x
iz
dz
dxz
iz
xz
z
x
следователно
z трябва да единичната окръжност
1=z в положителна посока

[]
() () ()zfresidzz
z
z
iz
R
zi
dxxxR