Задачи от приложения на определен интеграл

§10. Задачи от приложения на определен интеграл

Съдържание
1. Лице на фигура
2. Дължина на дъга
3. Обем на тяло
4. Лице на ротационна повърхнина

ТЕОРИЯ
Лице на фигура. Нека функциите
()xf и ()xg са интегруеми в интервала []ba,, при което
() ()xfxg≤ за []bax,∈. Тогава криволинейният трапец, ограничен от графиките на двете
функции и правите с уравнения
a
x= и bx= има лице, което се определя от формулата

( ) () ()[]∫
−=μ
b
a
dxxgxfA

Лице на фигура, зададена в полярни координати. Да разгледаме криволинейния сектор
S, ограничен от кривата ()ϕρ=ρ
γ: , β≤ϕ≤α , с начало точката A ( )α=ϕ и край точката B
()β=ϕ, и отсечките OA и OB, както е показано на рисунката.

Лицето на този сектор се дава с формулата

()
()∫
β
α
ϕϕρ=μdS
2
2
1

Обем на ротационно тяло. Нека функцията
()xf е непрекъсната и неотрицателна в
интервала
[]ba, и да разгледаме тримерното тяло V, което се получава от завъртането на
графиката на
()xf около оста Ox и равнините през точките a
x= и bx=, перпендикулярни
на оста
Ox, както е показано на рисунката

Обемът на ротационното тяло се дава с формулата

() ()∫
π=μ
b
a
dxxfV
2

Лице на околна