Задачи от закони за големите числа

§18. Задачи от закони за големите числа
Съдържание
1. Теорема на Чебишев
2. Теорема на Бернули
3. Централна гранична теорема
4.Теорема на Моавър-Лаплас
ТЕОРИЯ
Неравенство на Чебишев. Нека X е случайна величина, D[X ] > 0 . Тогава за всяко ε > 0 е
изпълнено неравенството
D[X ]
P ( X − E[ X ] ≥ ε ) ≤ 2 .
ε
Закон за големите числа. Нека X 1 , X 2 , ..., X n , ... са редица от две по две независими случайни величини с равномерно ограничени дисперсии, D[X n ] ≤ C , n = 1,2,K . Тогава за всяко
ε > 0 е изпълнено
⎛ X + X 1 + L + X n E[X 1 ] + E[X 2 ] + L + E[X n ]
⎞
lim P⎜⎜ 1
−
≥ ε ⎟⎟ = 0 .
n→∞
n
n
⎝
⎠
Теорема на Бернули. За броя на успехите U n ∈ B(n, p ) в схема с независими повторения на
опитите е изпълнено
⎛U
⎞
lim P⎜⎜ n − p ≥ ε ⎟⎟ = 0 .
n →∞
⎝ n
⎠
Централна гранична теорема. Нека {X n } е редица от независими и еднакво разпределени
случайни величини с очаквания E[ X n ] = μ и дисперсии D[X n ] = σ 2 . Тогава е изпълнено

⎛ Y − nμ
⎞
< x ⎟ = Φ(x )
lim P⎜ n
n →∞
⎝ σ n
⎠
където
Φ(x ) =

1

x

Φ(x ) =

1

x

−