Декартово произведение на множества

§ 1 . Декартово произведение на множества Изясняването на понятието “Декартово произведение на множества” е свързано с по нятието “ наредена двойка ”, коя то се дефинира по следния начин: Определение 1 . Казваме, че два елемента х и у образуват наредена двойка, когато единият от тях е приет за първи, а другият – за втори. Означава се с (х,у) или с (х;у). П р и м е р 1 . Всяка обикновена дроб може да се запише като наредена двойка с първи елемент, нейния числител, а втори елемент, нейният знаменател. Например дробите: могат да се запишат като наредени двоики по следния начин: (1,3), (3,4) и (7;8). П р и м е р 2 . Положението на всяка точка от равнината на координат-ната система се определя еднозначно от нейните координати х и у и се записва по следния начин: М(х,у), точката А(3,4) се различава от точката В(4,3), защото първото число означава абцисата на точката, а второто нейната ордината. Тази разлика се вижда веднага ако построим двете точки в една и съща координатна система. Елемента х на наредената двойка (х,у) се нарича нейна първа компонента, или първа координата, а елемента у се нарича нейна втора компонента или втора координата. Две наредени двойки (х,у) и (а,в) ще считаме за равни (неразлични), ако първите и вторите им компоненти са съответно равни (неразлични), т.е когато: х = а и у = в. По аналогия на наредените двойки и равенството между тях, можем да дефинираме и наредени тройки, четворки, както и най-общо казано, наредени n -торки и равенство между тях. Определение 2 . Декартово произведение на две множества А и В се нарича множеството от всички наредени двойки (х,у), за които х ε А и у ε В. Декартовото произведение на две множества А и В се означава с АхВ, а символично се записва по следния начин: С = АхВ = {(х,у)/ х ε А и у ε В}. Например: Ако А = {2,3}, а В = {3,5,7}, то АхВ = {(2,3),(2,5),(2,7),(3,3) (3,5),(3,7)}. Приема се, че за всяко множество А, АхØ = ØхА = Ø. Декартовото произведение на АхА на множеството А със себе си се нарича декартов квадрат на множеството А и се означава с А 2 . Например: Ако А = {2,3}, то АхА = А 2 = {(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}. Декартовото произведение на множества не притежава свойствата комутативност и асоциативност, т.е. АхВ ≠ ВхА и Ах(ВхС) ≠ (АхВ)хС ≠ АхВхС. Но то притежава редица други важни свойства, които ще запишем без да ги доказваме. Ако А, В и С са три непразни множества, то 1) 2) 3 ) 4) 6 ) 7 ) ако 8 ) ако то и обратно 9 ) ако то и обратно . Освен конструктивно и дескриптивно декартовото произведение на множествата А = {2,3}, и В = {3,5,7} може да бъде зададено и : а) таблично б) графично в) чрез диаграми и стрелки На последната фигура е зададено графично декартовото произведение на множествата : А = { х ε R / ½ < x < 4 } и В = { у ε R / 1 < у < 3 }. То представлява множеството от всички точки, разп оложени вътре в защрихования правоъгълник, без точките върху неговите страни. § 2 .