Задачи от диференциални уравнения от първи ред

§8. Задачи от диференциални уравнения от първи ред

Съдържание
1. Уравнения с отделящи се променливи
2. Хомогенни диференциални уравнения
3. Линейни уравнения и уравнения на Бернули
4. Точни уравнения. Уравнения на Лагранж и Клеро

ТЕОРИЯ
Уравнения с разделящи се променливи. Такива са уравненията от вида

()()ygxfy=′,
където
()xf и ()xg са непрекъснати функции. Уравнението записваме във вида

()()ygxf
dx
dy
=,
което позволява да разделим променливите

()
()dxxf
yg
dy= .
Като интегрираме последното, за общото решение получаваме формулата

()
()Cdxxf
yg
dy+=∫∫
,
където
C е произволна константа. Нека едно уравнение може да се преобразува във вида

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=′
x
y
fy.
Тогава след полагане xuy=, ()xuu=, то се свежда към уравнение с разделящи се промен-
ливи. Имаме
uxuy
′+=′. След заместване получаваме

()ufuux =+′,
()ufu
dx
du
x =+,
() x
dx
uuf
du
=