Задачи от нехомогенни диференциални уравнения

1
§10. Задачи от нехомогенни диференциални уравнения

Съдържание

1. Метод на Лагранж за определяне на частен интеграл на нехомогенно линейно
диференциално уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти.
2. Намиране на частен интеграл на ДУ с дясна част от специален вид.

ТЕОРИЯ
Линейно диференциално уравнение (ЛДУ) от
n-ти ред
()N∈n се нарича
уравнението

()
()
()
()
() () ()xfyxayxayxayxa
n
n
n
n
=+′+++
−
− 01
1
1
L ,
където коефициентите
()xa
n
,
()xa
n1−
, ..., ()xa
1
, ()xa
0
и функцията ()xf се
предполагат непрекъснати в отворения интервал Δ. Освен това винаги ще
предполагаме, че старшият коефициент ()xa
n
навсякъде е различен от нула,
()0≠xa
n
, Δ∈x. При тези предположения уравнението е от ред n във всяка точка
на интервала
Δ. Когато функцията
()xf е тъждествено нула, ()0≡xf,
уравнението се нарича линейно хомогенно диференциално уравнение (ЛХДУ) от
n-ти ред, а когато ()0≠xf уравнението се нарича линейно нехомогенно
диференциално уравнение (ЛНХДУ) от
n-ти ред
Всичките решения на ЛНХДУ се получават по формулата

nnyCyCyCyy++++=L
22110
,