Задачи от степенни редове

§6. Задачи от степенни редове

Съдържание
1. Определяне на радиуса на сходимост на степенен ред
2. Изследване сходимостта на степенни редове
3. Определяне на сумата на степенен ред

ТЕОРИЯ
Редът от функции

() () ()() () LL +μ−++μ−+μ−+=μ−=∑
∞
=
n
n
n
n
n
xaxaxaaxaxf
2
210
0

се нарича степенен ред с център в точката
μ и коефициенти
na, ,...2,1,0=n. Множес-
твото на сходимост E на реда не е празно, понеже винаги съдържа поне точката μ.
Да разгледаме степенния ред

()()()
()LL +μ−++μ−+μ−+=
n
xxxxf
2
1
Съгласно правилото за сумиране на геометрична прогресия, при 1<μ−x редът (9.4)
представлява функцията

()
()
μ−−
=x
xf
1
1
.
При кое да е
x, за което 1≥μ−x, редът е разходящ, понеже общият му член
()
n
xμ− не клони към нула. По този начин множеството E, над което редът е
сходящ, се определя от условието 1: <μ−xE, което задава интервал () 1,1+μ−μ с
център в точката
μ и радиус 1
=R.Радиусът на сходимост на реда

() () ()() () LL+μ−++μ−+μ−+=μ−=∑
∞
=
n
n