Функции и изображения

1

§6. Функции и изображения
1. Функции
О.1. Функция се нарича всяка двучленна релация
,(
, не непременно различни), при която на всеки елемент
чрез се съпоставя най-много един елемент
, т.е. съществува най-много един елемент
от , за който
.
Ако
и
e съответен на
чрез , то вместо
се записва
и се нарича аргумент (променлива), а – стойност на функцията. Означава
се още с
. Последното означение не бива да се смесва с операцията импликация. В този случай говорим за функция на един аргумент. Аналогично се дефинира
функция на два и повече аргумента.
Онези функции , за които
се наричат изображения.
За задаването на една функция (както и за релация) се използват различни начини:
1. Табличен – ако множеството, задаващо функцията е крайно, което означава, че
множеството от наредени двойки
е крайно, то може да бъде записано във
вид на таблица.
2. Аналитичен – удобен е, ако множеството или не е крайно. Той се състои в
указване на общото правило (за числовите функции – чрез аналитичен израз) за намиране на всяка стойност на функцията, съответстваща на даден аргумент.
3. Геометричен – чрез граф или графика.
Функциите и се наричат равни (тъждествено равни) тогава и само тогава, когато имат едно и също дефиниционно множество
и
, за всяко
. Означава се с
или
.
Ако обратната релация на релацията, задаваща функцията
, е също функция, тя се нарича обратна функция на . Означава се с
.
Очевидно, ако
е обратна функция на , то и е обратна на
. Следователно
и са изпълнени равенствата
за
и
за
.

Теорема 1. Функцията
притежава обратна тогава и само тогава, когато на различни стойности на аргумента съответстват различни функционални
стойности.